设是椭圆上一点,和分别是点M与点的距离。求证,其中e是离心率。 椭圆上任一点M与焦点F1或F2的距离,叫做椭圆的焦半径,也称为左焦半径,为右焦半径。 解法1:由椭圆的定义有: 故只要设法用等表示出(或),问题就可迎刃而解。 由题意知, 两式相减得 联立<1>、<2>解得: 解法2:设焦点 则,即 另有 <2>÷<1>得: <1>、<3>联立解得: 解法3:推敲的沟通渠道,应从消除差异做起,根式中理应代换。 由点M在椭圆上,易知 则 由,知 故 同理 解法4:椭圆的第二定义为求焦半径铺设了沟通的桥梁。 如图,作椭圆的左准线,作MH⊥于H点 则 即 同理可求得: 例1、在椭圆上求一点,使它与两个焦点的连线互相垂直。 解析:设所求点 由得: 又 即 解得: 代入椭圆方程得: 故所求点M为(3,4),或(3,-4),或(-3,4),或(-3,-4)。 例2、点P是椭圆上一点,是椭圆的两个焦点,又点P在x轴上方,为椭圆的右焦点,直线的斜率为,求的面积。 解析:设点P的横坐标为x, 由条件,得: 依题意得: 所以 由得: 故 以上内容源自网络,部分作了修改,版权归原作者所有. |